Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²-x．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，令g（x）=f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{lnx}{2x}$在（0，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{lnx}{2x}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²-x，
故g（x）=f′（x）=lnx-x，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）f′（x）=lnx-2ax，
若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
則f′（x）=lnx-2ax≤0在（0，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{2x}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{lnx}{2x}$，（x＞0），
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令h′（x）＜0，解得：x＞e，
故h（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
故h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{2e}$，
故a≥$\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．