Question

6．若向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，其中ω＞0，記函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$，若函數(shù)f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離是$\frac{{\sqrt{16+{π^2}}}}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)△ABC三內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若a+b=3，$c=\sqrt{3}$，f（C）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），利用周期公式可求ω，從而可求函數(shù)f（x）解析式．
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，由C的范圍可求-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，從而解得C=$\frac{π}{3}$，由已知及余弦定理可求ab的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωxcosωx+{sin^2}ωx-\frac{1}{2}=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，
由題意可知其周期為π，
故ω=1，則f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$，
又∵a+b=3，$c=\sqrt{3}$，由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
∴（a+b）²-3ab=3，即ab=2，
∴由面積公式得△ABC的面積為：S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．