2.如圖在正方體ABCD-A′B′C′D′中,
(1)證明:BC′⊥平面A′B′CD;
(2)求直線A′B和平面A′B′CD所成的角.

分析 (1)設BC′∩B′C=O,連接A′O,設正方體的棱長為a,推導出A′B′⊥BC′,BC′⊥B′C,由此能證明BC'⊥平面A'B'CD.
(2)由A′O為斜線A′B在平面A'B'CD內的射影,∠BA'O為A′B與平面A'B'CD所成的角,由此能求出直線A'B和平面A'B'CD所成的角.

解答 證明:(1)設BC′∩B′C=O,連接A′O,設正方體的棱長為a,
∵A′B′⊥B′C′,A′B′⊥B′B,且B′C′∩B′B=B′,
∴A′B′⊥平面BCC′B′,
∵BC′?平面BCC′B′,∴A′B′⊥BC′,(4分)
又∵四邊形BCC′B′是正方形,∴BC′⊥B′C,
∵A′B′∩B′C=B′,
∴BC'⊥平面A'B'CD.(6分)
解:(2)由(1)知A′O為斜線A′B在平面A'B'CD內的射影,
∠BA'O為A′B與平面A'B'CD所成的角,(8分)
在△A'BO中,$A'B=\sqrt{2}a$,$BO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$
∴$BO=\frac{1}{2}A'B,∠BA'O={30}$°,(11分)
∴直線A'B和平面A'B'CD所成的角為30°.(12分)

點評 本題考查線面垂直的證明,考查線面角的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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④已知函數(shù)f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{{{10}^{-x}}-2,x≤0}\\{2ax-1,x>0}\end{array}}$(a是常數(shù)且a>0),對任意的x1,x2<0且x1≠x2,恒有$f(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})<\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$;
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