Question

2．如圖在正方體ABCD-A′B′C′D′中，
（1）證明：BC′⊥平面A′B′CD；
（2）求直線A′B和平面A′B′CD所成的角．

Answer 1

分析 （1）設BC′∩B′C=O，連接A′O，設正方體的棱長為a，推導出A′B′⊥BC′，BC′⊥B′C，由此能證明BC'⊥平面A'B'CD．
（2）由A′O為斜線A′B在平面A'B'CD內的射影，∠BA'O為A′B與平面A'B'CD所成的角，由此能求出直線A'B和平面A'B'CD所成的角．

解答 證明：（1）設BC′∩B′C=O，連接A′O，設正方體的棱長為a，
∵A′B′⊥B′C′，A′B′⊥B′B，且B′C′∩B′B=B′，
∴A′B′⊥平面BCC′B′，
∵BC′?平面BCC′B′，∴A′B′⊥BC′，（4分）
又∵四邊形BCC′B′是正方形，∴BC′⊥B′C，
∵A′B′∩B′C=B′，
∴BC'⊥平面A'B'CD．（6分）
解：（2）由（1）知A′O為斜線A′B在平面A'B'CD內的射影，
∠BA'O為A′B與平面A'B'CD所成的角，（8分）
在△A'BO中，$A'B=\sqrt{2}a$，$BO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$
∴$BO=\frac{1}{2}A'B，∠BA'O={30}$°，（11分）
∴直線A'B和平面A'B'CD所成的角為30°．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．