Question

18．已知圓C：x²+y²-2y-4=0，直線l：mx-y+1-m=0（m∈R），且直線l與圓C交于A、B兩點．
（1）直線l橫過定點P，求點P的坐標；
（2）若|AB|=$\sqrt{17}$，求m的值；
（3）求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡的什么圖形．

Answer 1

分析 （1）直線l：mx-y+1-m=0的方程可化為m（x-1）-y+1=0，可得直線l過定點P；
（2）根據(jù)弦長和半徑求出弦心距，然后利用點到直線的距離公式構(gòu)建關(guān)于m的方程；
（3）利用斜率關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）直線l：mx-y+1-m=0的方程可化為m（x-1）-y+1=0
∴直線l過定點P（1，1），
（2）圓C：x²+y²-2y-4=0的方程可化為：x²+（y-1）²=5
∵|AB|=$\sqrt{17}$，r=$\sqrt{5}$
∴圓心到直線l的距離為：d=$\sqrt{5-\frac{17}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$\frac{|-1+1+m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：m=±$\sqrt{3}$．
（3）設(shè)M（x，y），則$\frac{y-1}{x-1}$•$\frac{y-1}{x}$=-1，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$，軌跡是以（$\frac{1}{2}$，0）為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓．

點評 解決第（1）問的關(guān)鍵是把直線與圓的問題轉(zhuǎn)化為直線過的定點與圓的位置關(guān)系問題；第（2）問關(guān)鍵是利用弦長的一半，半徑和弦心距構(gòu)成的直角三解形求出弦心距；（3）利用斜率關(guān)系，即可得出結(jié)論．