Question

5．已知函數(shù)f（log₂x）=x-$\frac{1}{x}$
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并說明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性（無需證明）；
（2）設(shè)集合A=$\{x|x=sinθ+cosθ，θ∈（-\frac{π}{2}，0）\}$，若函數(shù)y=f（x）（x∈A），且f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù) m的取值范圍；
（3）若不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù) m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令a=${log}_{2}^{x}$，則x=2^a，從而求出f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合A，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m的不等式組，求出m的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0對t∈[1，2]恒成立，根據(jù)t的范圍得到2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，問題轉(zhuǎn)化為2^t（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$）+m≥0對t∈[1，2]恒成立，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）令a=${log}_{2}^{x}$，則x=2^a，f（a）=2^a-$\frac{1}{{2}^{a}}$，
∴f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$（x∈R），
f（x）是奇函數(shù)，且在R上遞增；
（2）∵x=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），（θ∈（-$\frac{π}{2}$，0）），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（-1，1），
∴A={x|-1＜x＜1}，
由（1）f（x）是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，
對y=f（x），（x∈A），
f（1-m）+f（1-m²）＜0，
有$\left\{\begin{array}{l}{1-m{＜m}^{2}-1}\\{-1＜1-m＜1}\\{-1{＜m}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜$\sqrt{2}$；
（3）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，
即2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0對t∈[1，2]恒成立，
∵t∈[1，2]，∴2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，
∴2^t（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$）+m≥0對t∈[1，2]恒成立，即對t∈[1，2]恒成立，
令g（t）=-（2^t）²-1，t∈[1，2]，
g（t）_max=g（1）=-5，
∴m≥-5．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生的計算能力，是一道中檔題．