Question

10．若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)．若函數(shù)g（x）=x²-m是（-∞，0）上的正函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $（-1，-\frac{3}{4}）$
• B． $（-\frac{3}{4}，0）$
• C． $（\frac{3}{4}，1）$
• D． $（1，\frac{5}{4}）$

Answer 1

分析 根據(jù)正函數(shù)的定義可知，存在區(qū)間[a，b]⊆（-∞，0），x∈[a，b]時(shí)，g（x）∈[a，b]．根據(jù)g（x）在[a，b]上的單調(diào)性即可得到$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-m=a}\\{{a}^{2}-m=b}\end{array}\right.$，而這兩式相減即可得到a+b=-1，從而得到a=-b-1，根據(jù)a＜b＜0可求出b的范圍，而m=b²+b+1，這樣根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出b²+b+1的范圍，從而求出m的范圍．

解答 解：g（x）是（-∞，0）上的正函數(shù)；
∴存在區(qū)間[a，b]⊆（-∞，0），x∈[a，b]時(shí)，g（x）∈[a，b]；
∵g（x）在[a，b]上單調(diào)遞減；
∴x∈[a，b]時(shí)，g（x）∈[g（b），g（a）]=[b²-m，a²-m]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-m=a}\\{{a}^{2}-m=b}\end{array}\right.$；
∴a²-b²=b-a；
∴a+b=-1；
∴a=-b-1；
由a＜b＜0得-b-1＜b＜0；
∴$-\frac{1}{2}＜b＜0$；
m=b²-a=b²+b+1；
設(shè)f（b）=b²+b+1，對(duì)稱軸為b=-$\frac{1}{2}$；
∴f（b）在$（-\frac{1}{2}，0）$上單調(diào)遞增；
∴f（b）∈（f（-$\frac{1}{2}$），f（0））=$（\frac{3}{4}，1）$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（\frac{3}{4}，1）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)正函數(shù)定義的理解，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的取值范圍．結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．