Question

已知函數(shù)f（x）=blnx+x²，其中b為實常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)b=-1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若任意x∈[1，e]，f（x）-（b+2）x≥0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)b=-1時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）利用參數(shù)分離法將不等式轉(zhuǎn)化b≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即只需求出

x2-2x

x-lnx

的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)b=-1時，f（x）=-lnx+x²，
則f′（x）=2x-

1

x

，得f′（1）=1．
當(dāng)x=1時，f（1）=1，于是曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x-y=0．…（6分）
（Ⅱ）依題意，f（x）-（b+2）x≥0即為（x-lnx）b≤（x²-2x），
因為x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x，且等號不能同時成立，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
所以b≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即只需求出

x2-2x

x-lnx

的最小值即可．…（9分）
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，
則g′（x）=

(2x-2)(x-lnx)-(x2-2x)(1- 1 x )

(x-lnx)2

=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

   …（11分）
當(dāng)x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，
所以x+2-2lnx＞0，故g′（x）≥0，
所以函數(shù)g（x）=

x2-2x

x-lnx

，在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)．
故函數(shù)g（x）的最小值為g（1）=-1，
從而b≤-1．…（13分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．