Question

已知四棱錐p-ABCD中，面PAB⊥面ABCD，且BC∥AD，BC⊥AB，且PA=PB=4，AB=2，BC=1，AD=3，O為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：面PCD⊥面POC；
（2）在PD上確定一點(diǎn)E使OE∥面PBC，求點(diǎn)E的位置；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直，進(jìn)一步利用題中相關(guān)的線段長求出：△OCD是直角三角形，最后利用線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化成面面垂直從而確定結(jié)果．
（2）利用面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行，利用相關(guān)的中位線定理．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量，進(jìn)一步利用向量的夾角求出二面角的余弦值．

解答： （1）證明：四棱錐p-ABCD中，PA=PB=4，O為AB的中點(diǎn)．
所以：PO⊥AB
又面PAB⊥面ABCD，
所以：PO⊥面ABCD，
PO⊥CD
且BC∥AD，BC⊥AB，且，AB=2，BC=1，AD=3，
利用勾股定理：OD²=OA²+AD²
解得：OD=

10

同理：OC²=OB²+BC²
解得：OC=

2

進(jìn)一步解得：CD=2

2

由于：OD²=OC²+CD²
所以：△OCD是直角三角形．
OC⊥CD
所以：CD⊥平面POC
所以：平面PCD⊥平面POC．
（2）當(dāng)E為PD的中點(diǎn)時，使OE∥面PBC
取CD的中點(diǎn)，PD的中點(diǎn)，連接OG，EG，
所以：OG∥BC，EG∥PC
所以：平面OGE∥平面PBC
OE?平面OGE
所以：OE∥平面PBC
（3）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz
則：B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，

15

），D（-1，4，0）

BC

=(0，1，0)，

BP

=(-1，0，

15

)，

PC

=(1，1，-

15

)，

CD

=(-2，3，0)
設(shè)平面PBC的法向量為：

n

=(x，y，x)
則：

n • BC =0 n • BP =0

解得：

n

=(

15

，0，1)
同理設(shè)平面PCD的法向量為：

m

=(x，y，z)
則：

m • CD =0 m • PC =0

解得：

m

=(3，2，

15

3

)
設(shè)二面角B-PC-D的平面角為θ，
則：cosθ=

m • n

| m || n |

=

5 215

86

二面角的平面角的余弦值為：

5 215

86

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系，法向量的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用．屬于中等題型．