Question

4．已知函數(shù)f（x）=$（\frac{1}{2}）^{|x+m-1|}$是偶函數(shù)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x≥0}\\{{x}^{2}+2x+m}&{x＜0}\end{array}\right.$，則方程g（x）=|x+$\frac{3}{4}$|實數(shù)根的個數(shù)是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）是偶函數(shù)可得m=1，作出g（x）與y=|x+$\frac{3}{4}$|的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x+m-1|是偶函數(shù)，
∴|x+m-1|=|-x+m-1|，
∴m=1．
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$，
作出y=g（x）與y=|x+$\frac{3}{4}$|的函數(shù)圖象如圖所示：

把y=x+$\frac{3}{4}$代入y=x²+2x+1得x²+x+$\frac{1}{4}$=0，
∵方程x²+x+$\frac{1}{4}$=0只有一解x=-$\frac{1}{2}$，∴直線y=|x+$\frac{3}{4}$|在（-$\frac{3}{4}$，0）上的函數(shù)圖象與g（x）的圖象相切，
由圖象可知y=g（x）與y=|x+$\frac{3}{4}$|的函數(shù)圖象有4個交點，
∴方程g（x）=|x+$\frac{3}{4}$|有4個實數(shù)根．
故選C．

點評 本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．