Question

如圖，已知幾何體的三視圖（單位：cm）．
（1）在這個幾何體的直觀圖相應(yīng)的位置標出字母A，B，C，D，A₁，B₁，C₁，D₁，P，Q；
（2）求這個幾何體的表面積及體積；
（3）設(shè)異面直線A₁Q、PD所成角為θ，求cosθ．

Answer 1

考點：由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三視圖的畫出，進行復(fù)原畫出幾何體的圖形即可．
（2）幾何體可看成是正方體AC₁及直三棱柱B₁C₁Q-A₁D₁P的組合體，求出底面面積，然后求出體積即可．
（3）由PQ∥CD，且PQ=CD，可得：PD∥QC，故∠A₁QC即為異面直線A₁Q、PD所成角（或其補角），利用余弦定理和勾股定理解三角形可得答案．

解答： 解：（1）這個幾何體的直觀圖如圖所示．

（2）這個幾何體可看成是正方體AC₁及直三棱柱B₁C₁Q-A₁D₁P的組合體．
由PA₁=PD₁=

2

，A₁D₁=AD=2，
可得PA₁⊥PD₁．
故所求幾何體的表面積
S=5×2²+2×

1

2

2×1+2×

2

×2

2

=22+4

2

（cm²），
所求幾何體的體積V=2³+

1

2

×（

2

）²×2=10（cm³）．
（3）由PQ∥CD，且PQ=CD，可得：PD∥QC，
故∠A₁QC即為異面直線A₁Q、PD所成角（或其補角），

由題意知：A1Q2=A1B12+B1Q2=6，A₁C=

3

×2=2

3

．
取BC的中點E，則QE⊥BC，且QE=3，QC²=QE²+EC²=10，
由余弦定理得：cosθ=|cos∠A₁QC|=|

A1Q2+QC2-A1C2

2A1Q•QC

|=

6+10-12

2 6 • 10

=

15

15

，
所以異面直線A₁Q、PD所成角為θ滿足cosθ=

15

15

．

點評：本題考查三視圖復(fù)原幾何體，空間直線的夾角，畫出中逐步按照三視圖的作法復(fù)原，考查空間想象能力，邏輯推理能力，計算能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．