Question

17．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，${a}_{n+1}^{2}={3a}_{n}^{2}+2{a}_{n}{a}_{n+1}$其中n∈N^*，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{n{a}_{n}}{（2n+1）•{3}^{n}}$，若存在正整數(shù)m，t（m≠t）使得b₁，b_m，b_t成等比數(shù)列，則$\frac{t}{m}$=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 已知式子變形可判數(shù)列{a_n}是公比為3的等比數(shù)列，可得b_n=$\frac{n}{2n+1}$，由b₁，b_m，b_t成等比數(shù)列可得$\frac{3}{t}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，由$\frac{3}{t}$＞0可得-2m²+4m+1＞0，解不等式結(jié)合m題意可得m的值，進而可得t值，可得答案．

解答 解：∵a_n+1²=3a_n²+2a_na_n+1，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-3a_n）=0，
又a_n＞0，∴a_n+1-3a_n=0，即a_n+1=3a_n，
∴數(shù)列{a_n}是公比為3的等比數(shù)列．
又a₁=2，∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3ⁿ，
∴b_n=$\frac{n{a}_{n}}{（2n+1）•{3}^{n}}$=$\frac{n}{2n+1}$，
∵b₁，b_m，b_t成等比數(shù)列，
∴（b_m）²=b₁•b_t，即（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$•$\frac{t}{2t+1}$，
∴$\frac{{m}^{2}}{4{m}^{2}+4m+1}$=$\frac{t}{6t+3}$，∴$\frac{6t+3}{t}$=$\frac{4{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
∴$\frac{3}{t}$=$\frac{4{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$-6=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
由$\frac{3}{t}$＞0可得$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，
∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又m∈N^*，且m＞1，∴m=2，此時t=12．
故當且僅當m=2且t=12．使得b₁，b_m，b_t成等比數(shù)列，
此時$\frac{t}{m}$=6，
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法、等比中項的性質(zhì)，由m，n的關(guān)系得到關(guān)于m的不等式求出m的范圍是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．