Question

5．在直角三角形ABC中，∠C=90°，E，F(xiàn)是斜邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且AC=6，BC=8，那么$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{200}{9}$．

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)向量加法及數(shù)乘的幾何意義，并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，而根據(jù)條件可求得${\overrightarrow{CA}}^{2}=36，{\overrightarrow{CB}}^{2}=64，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CF}$的值．

解答 解：如圖

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$；
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$；
根據(jù)條件，${\overrightarrow{CA}}^{2}=36，{\overrightarrow{CB}}^{2}=64，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$；
∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CF}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}）•（\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}）$
=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{CA}}^{2}+\frac{5}{9}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{CB}}^{2}$
=$8+0+\frac{128}{9}$
=$\frac{200}{9}$．
故答案為：$\frac{200}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，線段三等分點(diǎn)的概念，以及向量垂直的充要條件．