Question

【題目】探究與發(fā)現(xiàn)：為什么二次函數(shù)的圖象是拋物線？我們知道，平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線，這是拋物線的定義，也是其本質(zhì)特征因此，只要說明二次函數(shù)的圖象符合拋物線的本質(zhì)特征，就解決了為什么二次函數(shù)的圖象是拋物線的問題進(jìn)一步講，由拋物線與其方程之間的關(guān)系可知，如果能用適當(dāng)?shù)姆绞綄?/span>轉(zhuǎn)化為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，那么就可以判定二次函數(shù)的圖象是拋物線了．下面我們就按照這個(gè)思路來展開．對(duì)二次函數(shù)式的右邊配方，得．由函數(shù)圖象平移一般地，設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將上所有點(diǎn)按照同一方向，移動(dòng)同樣的長度，得到圖形，這一過程叫作圖形的平移的知識(shí)可以知道，沿向量平移函數(shù)的圖象如圖，函數(shù)圖象的形狀、大小不發(fā)生任何變化，平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，我們把它改寫為的形式方程，這是頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線．這樣就說明了二次函數(shù)的圖象是一條拋物線．

請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，回答下列問題：

由函數(shù)的圖象沿向量平移，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，求的坐標(biāo)；

過拋物線的焦點(diǎn)F的一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)若線段PF與QF的長分別是p、q，試探究是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）將配方成，根據(jù)圖像變換的知識(shí)，可求得.（2）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由此寫出韋達(dá)定理，根據(jù)拋物線的定義求得的表達(dá)式，代入化簡后可求得為定值.

解：，

．

由可得，故F，拋物線的準(zhǔn)線方程為．

設(shè)直線PQ的斜率為k，則直線PQ的方程為，

聯(lián)立方程組，消去x可得：，

設(shè)，，則，，

由拋物線的定義可知：，，

．

即為定值4．