Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，S_n與a_n關(guān)系是S_n=2a_n-3n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

Sn

3n+1

，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件求出a₁=3，a_n=2a_n-1+3，從而得到{a_n+3}是首項(xiàng)a₁+3=6，公比q=2的等比數(shù)列，由此能求出a_n=6•2^n-1-3=3•2ⁿ-3．
（2）b_n=

Sn

3n+1

=

6(2n-1)-3n

3n+1

=2•（

2

3

）ⁿ-

n+2

3n

，由此利用分組求和法能求出數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n與a_n關(guān)系是S_n=2a_n-3n，
∴a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
∵S_n=2a_n-3n，∴S_n-1=2a_n-1-3（n-1），n≥2，
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-3，
∴a_n=2a_n-1+3，
a_n+3=2（a_n-1+3），
又a₁+3=6，
∴{a_n+3}是首項(xiàng)a₁+3=6，公比q=2的等比數(shù)列，
∴a_n=6•2^n-1-3=3•2ⁿ-3．
（2）S_n=2•（3•2ⁿ-3）-3n=6（2ⁿ-1）-3n，
∴b_n=

Sn

3n+1

=

6(2n-1)-3n

3n+1

=2•(

2

3

)n-

2

3n

-

n

3n

=2•（

2

3

）ⁿ-

n+2

3n

，
∵T_n=2[（

2

3

）+（

2

3

）²+…+（

2

3

）ⁿ]-（

3

3

+

4

32

+

5

33

+…+

n+2

3n

），
設(shè)S_n=

3

3

+

4

32

+

5

33

+…+

n+2

3n

，①
則

1

3

Sn=

3

32

+

4

33

+

5

34

+…+

n+2

3n+1

，②
①-②，得：

2

3

Sn=1+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n+2

3n+1

=1+

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+2

3n+1

=

7

6

-

1

2•3n

-

n+2

3n+1

，
∴S_n=

7

4

-

1

4×3n-1

-

n+2

2•3n

．
∴T_n=2×

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-S_n
=

9

4

-4×(

2

3

)n+

1

2•3n

+

n+2

3n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．