Question

已知拋物線E：x²=2py（p＞0），直線y=kx+2與E交于A、B兩點(diǎn)，且

OA

•

OB

=2，其中O為原點(diǎn)．
（1）求拋物線E的方程；
（2）點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2），記直線CA、CB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁²+k₂²-2k²為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）將直線與拋物線聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的方程，得到兩根之和、兩根之積，設(shè)出A、B的坐標(biāo)，代入到

OA

•

OB

=2中，化簡(jiǎn)表達(dá)式，再將上述兩根之和兩根之積代入得到p，從而求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）先利用點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)求出直線CA、CB的斜率，再根據(jù)拋物線方程輪化參數(shù)y₁，y₂，得到k和x的關(guān)系式，將上一問(wèn)中的兩根之和兩根之積代入，化簡(jiǎn)表達(dá)式得到常數(shù)即可．

解答： （1）解：將y=kx+2代入x²=2py，得x²-2pkx-4p=0，
其中△=4p²k²+16p＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-4p，
∴

OA

•

OB

=x1x2+

y

1

y2=x1x2+

x12

2p

•

x22

2p

=-4p+4，
由已知，-4p+4=2，解得p=

1

2

，
∴拋物線E的方程為x²=y．
（2）證明：由（1）知x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，
k1=

y1+2

x1

=

x12+2

x1

=

x12-x1x2

x1

=x₁-x₂，
同理k₂=x₂-x₁，
∴k12+k22-2k2=2（x₁-x₂）²-2（x₁+x₂）²=-8x₁x₂=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力．