Question

19．已知函數(shù) f（x）=x³-2x²+1，
（1）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上的極值；
（2）求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線y=f（x）相切的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，列出表格，求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點坐標(biāo)，得到關(guān)于a的方程，解出a的值，從而求出切點，代入切線方程即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-4x=3x（x-$\frac{4}{3}$），
令f'（x）=0，解得x=0或x=$\frac{4}{3}$
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，$\frac{4}{3}$）	$\frac{4}{3}$	（$\frac{4}{3}$，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	↗	極大值 1	↘	極小值-$\frac{5}{27}$	↗	1

由表可知，當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值1，
當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值-$\frac{5}{27}$；
（2）先驗證發(fā)現(xiàn)P（2，1）不在函數(shù)圖象上，
f'（x）=3x²-4x，
設(shè)切點：（a，a³-2a²+1）
得：$\frac{{a}^{3}-{2a}^{2}+1-1}{a-2}$=3a²-4a，解得：a=2，
即斜率為 k=12-8=4，
又過 P（2，1）
所以 （y-1）=4（x-2）
整理得：y=4x-7．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求切線方程問題，是一道中檔題．