Question

10．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{y≤x+1}\\{y≤-3x+9}\end{array}\right.$，試求解下列問(wèn)題：
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解有多少個(gè)？
（2）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，求實(shí)數(shù)a的值．
（3）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在B（2，3）處取得最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，得到目標(biāo)函數(shù)的對(duì)應(yīng)的直線和不等式對(duì)應(yīng)的邊界的直線的斜率相同，解方程即可得到結(jié)論．
（3）利用不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）由z=3x+y，得y=-3x+y，
作出實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{y≤x+1}\\{y≤-3x+9}\end{array}\right.$，不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z與直線y=-3x+9重合時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值，z的最大值為：9，
即最優(yōu)解為線段AB中的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，z取得最大值9．
（2）解：不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若-a＞0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時(shí)，z取的最大值，此時(shí)直線只在A處取得最大值，最優(yōu)解只有一個(gè)，不滿(mǎn)足條件，
若-a＜0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時(shí)，z取的最大值，此時(shí)滿(mǎn)足直線y=-ax+z與AB平行，
直線AB為y=-3x+9，直線的斜率k=-3，
此時(shí)-a=-3，解得a=3．
綜上滿(mǎn)足條件的a=3．
（3）由z=ax+y得y=-ax+z，
要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)B（2，3）處取得最大值，
目標(biāo)函數(shù)處在直線3x+y-9=0和x-y+1=0之間，
即目標(biāo)函數(shù)的斜率k，滿(mǎn)足-3＜-a＜1，
即-1＜a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，結(jié)合z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，利用結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的根據(jù)．利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．