Question

13．若直線x+3y+m=0截半圓y=$\sqrt{25-{x}^{2}}$所得的弦長為8，則m=-3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 將圓方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，利用垂徑定理及勾股定理列出關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答 解：半圓y=$\sqrt{25-{x}^{2}}$得：x²+y²=25，y≥0．
∴圓心（0，0），半徑r=5，
∵圓心到直線x+3y+m=0的距離d=$\frac{\left|m\right|}{\sqrt{10}}$，直線被圓截得的弦長為8，
∴2$\sqrt{{r}^{2}-4881wsv^{2}}$=8，即$\sqrt{25-\frac{{m}^{2}}{10}}=4$，
解得：c=3$\sqrt{10}$（舍去）或-3$\sqrt{10}$．
故答案為：-3$\sqrt{10}$．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵