分析 根據(jù)余弦定理可得:AC2=AD2+22-4AD•cos∠ADC,且${(6-\sqrt{2}AC)}^{2}={AD}^{2}+{2}^{2}-4AD•cos∠ADB$,進而${AD}^{2}=\frac{3{AC}^{2}-12\sqrt{2}AC+28}{2}$,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得AC=2$\sqrt{2}$時,AD取最小值$\sqrt{2}$,由余弦定理求出cos∠ACB,進而求出sin∠ACB,代入三角形面積公式,可得答案.
解答 解:∵AB+$\sqrt{2}$AC=6,BC=4,D為BC的中點,
根據(jù)余弦定理可得:AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC,且AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos∠ADB,
即AC2=AD2+22-4AD•cos∠ADC,且${(6-\sqrt{2}AC)}^{2}={AD}^{2}+{2}^{2}-4AD•cos∠ADB$,
∵∠ADB=π-∠ADC,
∴${AC}^{2}+{(6-\sqrt{2}AC)}^{2}=2{AD}^{2}+8$,
∴${AD}^{2}=\frac{3{AC}^{2}-12\sqrt{2}AC+28}{2}$,
當AC=2$\sqrt{2}$時,AD取最小值$\sqrt{2}$,
此時cos∠ACB=$\frac{8+4-2}{8\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$,
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{14}}{8}$,
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AC•BC•sin∠ACB=$\sqrt{7}$,
故答案為:$\sqrt{7}$.
點評 本題考查的知識點是余弦定理的應(yīng)用,三角形面積公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,難度中檔.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [-5,-2] | B. | (-5,-2) | C. | (2,5) | D. | [2,5] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2π}{9}$ | B. | $\frac{8π}{9}$ | C. | $\frac{16π}{9}$ | D. | $\frac{4π}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 直線x=-1對稱 | B. | 直線x=1對稱 | C. | 原點對稱 | D. | y軸對稱 |
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