Question

10．觀察下列等式：
1=1                     第一個式子
2+3+4=9                 第二個式子
3+4+5+6+7=25            第三個式子
4+5+6+7+8+9+10=49       第四個式子
照此規(guī)律下去：
（Ⅰ）寫出第五個等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件直接寫出第5個等式．
（Ⅱ）猜測第n個等式為n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．

解答 解：（Ⅰ）第5個等式 5+6+7+…+13=9²；                
（Ⅱ）猜測第n個等式為n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²，）
再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明如下：
（1）當n=1時顯然成立；）
（2）假設(shè)n=k（k≥1，k∈N₊）時也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）=（2k-1）²，
那么當n=k+1時左邊=（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1），
=（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（2k-1）+（3k）+（3k+1），
=（2k-1）²+（2k-1）+3k+3k+1，
=4k²-4k+1+8k，
=[2（k+1）-1]²，
而右邊=[2（k+1）-1]²這就是說n=k+1時等式也成立．
根據(jù)（1）（2）知，等式對任何n∈N₊都成立．

點評 本題考查猜想、證明的推理方法，考查數(shù)學(xué)歸納法證明命題．注意證明的步驟的應(yīng)用．