Question

10．如圖是某市2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖及空氣質(zhì)量指數(shù)與污染程度對(duì)應(yīng)表．某人隨機(jī)選擇2月1日至2月13日中的某一天到該市出差，第二天返回（往返共兩天）．

（Ⅰ）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（只寫出結(jié)論不要求證明）
（Ⅱ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；
（Ⅲ）設(shè)X是此人出差期間（兩天）空氣質(zhì)量中度或重度重度污染的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

空氣質(zhì)量指數(shù)	污染程度
小于100	優(yōu)良
大于100且小于150	輕度
大于150且小于200	中度
大于200且小于300	重度
大于300且小于500	嚴(yán)重
大于500	爆表

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖判斷從2月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．
（Ⅱ）設(shè)A_i表示事件“此人于2月i日到達(dá)該市”，（i=1，2，…，13），根據(jù)題意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣優(yōu)良”，則B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂∪A₁₃，由此能求出此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率．
（Ⅲ）由題意知，X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由圖判斷從2月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．
（Ⅱ）設(shè)A_i表示事件“此人于2月i日到達(dá)該市”，（i=1，2，…，13），
根據(jù)題意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，且A_i∩A_j=∅（i≠j），
設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣優(yōu)良”，則B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂∪A₁₃，
∴P（B）=P（A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂∪A₁₃）=$\frac{6}{13}$．
∴此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為$\frac{6}{13}$．
（Ⅲ）由題意知，X的所有可能取值為0，1，2，
且P（X=1）=P（A₄∪A₆∪A₇∪A₉∪A₁₀∪A₁₁）=$\frac{6}{13}$，
P（X=2）=P（A₅∪A₈）=$\frac{2}{13}$，
P（X=0）=1-$\frac{6}{13}-\frac{2}{13}$=$\frac{5}{13}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{13}$	$\frac{6}{13}$	$\frac{2}{13}$

EX=$0×\frac{5}{13}+1×\frac{6}{13}+2×\frac{2}{13}$=$\frac{10}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．