Question

14．已知a，b為實數(shù)，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+a}$+b，函數(shù)g（x）=lnx．
（1）當a=b=0時，令F（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)F（x）的極值；
（2）當a=-1時，令G（x）=f（x）•g（x），是否存在實數(shù)b，使得對于函數(shù)y=G（x）定義域中的任意實數(shù)x₁，均存在實數(shù)x₂∈[1，+∞），有G（x₁）-x₂=0成立，若存在，求出實數(shù)b的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）a=b=0帶入f（x），從而得出F（x）=$\frac{1}{x}+lnx$，求F′（x），根據(jù)F′（x）的符號即可求出F（x）的極值；
（2）根據(jù)題意x∈（0，1）∪（1，+∞）時，只需G（x）≥1恒成立即可，從而分x∈（0，1）和x∈（1，+∞）來求G（x）的范圍．x∈（0，′1）時，會得到G（x）≥1等價于（bx+1-b）lnx-x+1≤0，從而證明該不等式恒成立即可：設H（x）=（bx+1-b）lnx-x+1，求出$H'（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，并且H（1）=0，H′（1）=0；令Q（x）=blnx+$\frac{1-b}{x}+b-1$，求出Q′（x）=$\frac{b（x+1）-1}{{x}^{2}}$，根據(jù)函數(shù)的單調性可求出當b$≤\frac{1}{2}$時，（bx+1-b）lnx-x+1≤0成立．同樣的辦法可求出x∈（1，+∞）時，使G（x）≥1恒成立的b的范圍，這兩種情況下b的范圍求交集即可．

解答 解：（1）$F（x）=\frac{1}{x}+lnx$，$F'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，令F'（x）=0，得x=1；
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	-	0	+
F（x）	↘	極小值	↗

所以F（x）的極小值為F（1）=1，無極大值；
（2）當a=-1時，假設存在實數(shù)b滿足條件，則$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立；
1）當x∈（0，1）時，$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$可化為（bx+1-b）lnx-x+1≤0；
令H（x）=（bx+1-b）lnx-x+1，x∈（0，1），問題轉化為：H（x）≤0對任意x∈（0，1）恒成立；（*）
則H（1）=0，$H'（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，H'（1）=0；
令$Q（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，則$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}$；
①$b≤\frac{1}{2}$時，因為$b（x+1）-1≤\frac{1}{2}（x+1）-1＜\frac{1}{2}×2-1=0$；
故Q'（x）＜0，所以函數(shù)y=Q（x）在x∈（0，1）時單調遞減，Q（x）＞Q（1）=0；
即H'（x）＞0，從而函數(shù)y=H（x）在x∈（0，1）時單調遞增，故H（x）＜H（1）=0，
所以（*）成立，滿足題意；
②當$b＞\frac{1}{2}$時，$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}=\frac{{b[x-（\frac{1}-1）]}}{x^2}$；
因為$b＞\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}-1＜1$，記$I=（\frac{1}-1，1）∩（0，1）$，則當x∈I時，$x-（\frac{1}-1）＞0$；
故Q'（x）＞0，所以函數(shù)y=Q（x）在x∈I時單調遞增，Q（x）＜Q（1）=0；
即H'（x）＜0，從而函數(shù)y=H（x）在x∈I時單調遞減，所以H（x）＞H（1）=0，此時（*）不成立；
所以當x∈（0，1），$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$恒成立時，$b≤\frac{1}{2}$；
2）當x∈（1，+∞）時，$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$可化為（bx+1-b）lnx-x+1≥0；
令H（x）=（bx+1-b）lnx-x+1，x∈（1，+∞），問題轉化為：H（x）≥0對任意的x∈（1，+∞）恒成立；（**）
則H（1）=0，$H'（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，H'（1）=0；
令$Q（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，則$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}$．
①$b≥\frac{1}{2}$時，$b（x+1）-1＞2b-1≥\frac{1}{2}×2-1=0$；
故Q'（x）＞0，所以函數(shù)y=Q（x）在x∈（1，+∞）時單調遞增，Q（x）＞Q（1）=0；
即H'（x）＞0，從而函數(shù)y=H（x）在x∈（1，+∞）時單調遞增，所以H（x）＞H（1）=0，此時（**）成立；
②當$b＜\frac{1}{2}$時，
�。┤鬮≤0，必有Q'（x）＜0，故函數(shù)y=Q（x）在x∈（1，+∞）上單調遞減，所以Q（x）＜Q（1）=0；
即H'（x）＜0，從而函數(shù)y=H（x）在x∈（1，+∞）時單調遞減，所以H（x）＜H（1）=0，此時（**）不成立；
ⅱ）若$0＜b＜\frac{1}{2}$，則$\frac{1}-1＞1$，所以當$x∈（1，\frac{1}-1）$時，$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}=\frac{{b[x-（\frac{1}-1）]}}{x^2}＜0$；
故函數(shù)y=Q（x）在$x∈（1，\frac{1}-1）$上單調遞減，Q（x）＜Q（1）=0，即H'（x）＜0；
所以函數(shù)y=H（x）在$x∈（1，\frac{1}-1）$時單調遞減，所以H（x）＜H（1）=0，此時（**）不成立；
所以當x∈（1，+∞），$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$恒成立時，$b≥\frac{1}{2}$；
綜上所述，當x∈（0，1）∪（1，+∞），$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$恒成立時，$b=\frac{1}{2}$，從而實數(shù)b的取值集合為$\{\frac{1}{2}\}$．

點評 考查函數(shù)極值的概念，根據(jù)函數(shù)導數(shù)求函數(shù)極值的方法與過程，構造函數(shù)解決問題的方法，根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性的方法，以及函數(shù)單調性定義的運用，轉化思想的應用，注意正確求導．