Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線y=kx（k＞0）相交于A，B兩點(diǎn)（從左到右），過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C，直線AC交橢圓于另一點(diǎn)D．
（1）若橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1），求橢圓的方程；
（2）若以O(shè)D為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1），可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），C（-x₁，0）．利用斜率計(jì)算公式可得：k_AD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k_AC=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=$\frac{k}{2}$，k_BD=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{1}{k}$．由點(diǎn)A，D在橢圓上可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，代入可得a，b的關(guān)系，可得離心率．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1），
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=4，b²=c²=2．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），C（-x₁，0）．
k_AD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k_AC=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=$\frac{k}{2}$，k_BD=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{1}{k}$．
又$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$，
兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$×$\frac{1}{^{2}}×\frac{k}{2}×（-\frac{1}{k}）$=0，
化為a²=2b²．
∴橢圓的離心率e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題了考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．