Question

2．某社區(qū)為該社區(qū)的小朋友舉辦了一次套圈活動，有A、B兩個定點套圈位置，A、B兩個定點前方各有6個不同編號的卡牌．如圖所示的莖葉圖記錄著每個卡牌的編號．
規(guī)定：套圈套上偶數(shù)為套中，在A點套中一次得2分，在B點套中一次得3分．
套圈活動規(guī)則：按先A后B再A的順序套圈（假設(shè)每次均能套中），在A、B兩定點套圈，每個編號被套中的可能性相同，且在A、B兩點套中與否相互獨立．
（1）若小孩甲套圈三次，求得分X的分布列和數(shù)學期望；
（2）若小孩乙與小孩甲在A、B兩點套中的概率相同，兩人按規(guī)則各套三次．求小孩甲勝小孩乙的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)“在A、B兩個定點套圈一次套中”為事件A，B，則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{3}$．小孩甲套圈三次，得分X的可能值是0、2、3、4、5、7；利用相互獨立事件的概率計算公式可得概率，進而得到分布列、數(shù)學期望；
（2）利用互斥事件概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)“在A、B兩個定點套圈一次套中”為事件A，B，則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{3}$．
小孩甲套圈三次，得分X的可能值是0、2、3、4、5、7；
當X=0時，P（X=0）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{12}$，
當X=2時，P（X=2）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×2=$\frac{4}{12}$，
當X=3時，P（X=3）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$，
當X=4時，P（X=4）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{12}$，
當X=5時，P（X=5）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{2}{12}$，
當X=7時，P（X=7）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
∴X的分布列為；

X	0	2	3	4	5	7
P（X）	$\frac{2}{12}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{12}$	$\frac{2}{12}$	$\frac{1}{12}$

數(shù)學期望為EX=0×$\frac{2}{12}$+2×$\frac{4}{12}$+3×$\frac{1}{12}$+4×$\frac{2}{12}$+5×$\frac{2}{12}$+7×$\frac{1}{12}$=3；
（2）小孩甲勝小孩乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形．
這五種情形之間彼此互斥，因此，所求事件的概率P為：
P=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$×$（\frac{1}{6}+\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{6}×$$（\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}）$+$\frac{1}{6}$×$（\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}）$+$\frac{1}{12}$×$（1-\frac{1}{12}）$=$\frac{57}{144}$=$\frac{19}{48}$．
或P=$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{12}×\frac{1}{12}+\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{12}×\frac{1}{12}）]$=$\frac{19}{48}$．

點評 本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列、數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．