Question

已知直線y=x-4被拋物線y²=2mx（m≠0）截得的弦長(zhǎng)為6

2

，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：設(shè)直線與拋物線相交于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），將直線方程與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到x₁+x₂=2（4+m），x₁x₂=16．根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式與直線的方程，將AB長(zhǎng)表示成關(guān)于m的式子，結(jié)合題意建立關(guān)于m的等式，解之得到實(shí)數(shù)m的值，即可得到所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：設(shè)直線y=x-4與拋物線y²=2mx交于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=x-4 y2=2mx

消去y，可得x²-2（4+m）x+16=0，
∴x₁+x₂=2（4+m），x₁x₂=16，
可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4（4+m）²-4×16=4m²+32m，
（y₁-y₂）²=[（x₁-4）-（x₂-4）]²=（x₁-x₂）²=4m²+32m，
因此，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(4m2+32m)

=6

2

，
解之得m=1或-9，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=2x或y²=-18x．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線被已知直線截得的弦長(zhǎng)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．