Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的x值．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)函數(shù)的定義，可得2x+3-x²＞0，解不等式即可得到定義域；令t=2x+3-x²，則y=log₄t，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）的單調(diào)區(qū)間，可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=log₄（2x+3-x²），
可得2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，
即有定義域?yàn)椋?1，3）；
令t=2x+3-x²，則y=log₄t，
由t=2x+3-x²在（-1，1）遞增，在（1，3）遞減，
由y=log₄t遞增，
則函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（1，3）；
（2）由函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（1，3），
可得x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，且為f（1）=log₄4=1．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，同時(shí)對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．