Question

12．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁和F₂，離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點(diǎn)F₂到右準(zhǔn)線l的距離為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)M、N是右準(zhǔn)線l上兩動(dòng)點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}N}$=0．當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，求證：M，N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，b；
（Ⅱ）求出橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出右準(zhǔn)線方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得y₁y₂=-6，由基本不等式求出|MN|的最小值，即可得證．

解答 解：（1）因?yàn)?e=\frac{c}{a}$，F(xiàn)₂到l的距離$d=\frac{a^2}{c}-c$，
所以由題設(shè)得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
解得，$c=\sqrt{2}，a=2$．
由${b^2}={a^2}-{c^2}=2，得b=\sqrt{2}$．
（Ⅱ）證明：由$c=\sqrt{2}$，a=2得${F_1}（-\sqrt{2}，0），{F_2}（\sqrt{2}，0）$．
則l的方程為$x=2\sqrt{2}$．
故可設(shè)$M（2\sqrt{2}，{y_1}），N（2\sqrt{2}，{y_2}）$．
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$，y₂），
由$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}N}$=0知，3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+y₁y₂=0，
得y₁y₂=-6，所以y₁y₂≠0，
${y_2}=-\frac{6}{y_1}$，|$\overrightarrow{MN}$|=|y₁-y₂|=|y₁+$\frac{6}{{y}_{1}}$|=|y₁|+$\frac{6}{|{y}_{1}|}$$≥2\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)${y_1}=±\sqrt{6}$時(shí)，上式取等號，此時(shí)y₁=-y₂．
即M，N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．