Question

已知二次函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象過點（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)求函數(shù)y=f（log₂x），x∈[2，16]的最值．

Answer 1

解（Ⅰ）由題意可設二次函數(shù)f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）---------------------------
當x=0時，y=-3，即有-3=a（-1）（-3），
解得a=-1，f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3，
∴f（x）的解析式為f（x）=-x²+4x-3．-----------
（Ⅱ）設t=log₂x，∵x∈[2，16]，
∴t∈[1，4]，
y=f（log₂x）=-+4log₂x-3=-t²+4t-3，-----------------------
∴在t∈[1，2]上為增函數(shù)，
∴在t∈[2，4]上為減函數(shù)，-----------------------------------------------
∴t=2即x=4時，y_最大=1---------------------------------------------
∴t=4即x=16時，y_最小=-3-------------------------------------------
分析：（Ⅰ）設二次函數(shù)f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0），將（0，-3）代入即可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）設t=log₂x，由x∈[2，16]?t∈[1，2]，利用復合函數(shù)的單調性即可求得其最大值．
點評：本題考查二次函數(shù)的解析式，考查復合函數(shù)的單調性與綜合應用，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．