Question

11．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，直線l：y=kx-kc．若k=$\sqrt{3}$，則l與Γ的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；若k=$\sqrt{15}$，則l與Γ的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則Γ的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （1，2）
• B． （1，4）
• C． （2，4）
• D． （4，16）

Answer 1

分析 由題意可知雙曲線的漸近線斜率$\sqrt{3}$＜$\frac{a}$＜$\sqrt{15}$，根據(jù)e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得Γ的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可知：直線l：y=k（x-c）過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）．雙曲線的漸近線方程y=$\frac{a}$x，
可得雙曲線的漸近線斜率$\sqrt{3}$＜$\frac{a}$＜$\sqrt{15}$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，
由3＜$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜15，4＜1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜16，
∴2＜e＜4，
∴雙曲線離心率的取值范圍為（2，4）．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．