Question

7．已知F是拋物線x²=4y的焦點，直線y=kx-1與該拋物線交于第一象限內的零點A，B，若|AF|=3|FB|，則k的值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程求出準線方程與焦點坐標，利用拋物線的定義表示出|AF|與|FB|，
再利用直線與拋物線方程組成方程組，結合根與系數(shù)的關系，求出k的值即可．

解答 解：如圖所示，
拋物線方程為x²=4y，
∴p=2，準線方程為y=-1，焦點坐標為F（0，1）；
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AF|=y₁+$\frac{p}{2}$=y₁+1，|FB|=y₂+$\frac{p}{2}$=y₂+1；
∵|AF|=3|FB|，
∴y₁+1=3（y₂+1），即y₁=3y₂+2；
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
消去x，得y²+（2-4k²）y+1=0，
由根與系數(shù)的關系得，y₁+y₂=4k²-2，
即（3y₂+2）+y₂=4k²-2，
解得y₂=k²-1；
代入直線方程y=kx-1中，得x₂=k，
再把x₂、y₂代入拋物線方程x²=4y中，
得k²=4k²-4，
解得k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（不符合題意，應舍去），
∴k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了拋物線的標準方程與幾何性質的應用問題，也考查了直線與拋物線的綜合應用問題，考查了方程思想的應用問題，是綜合性題目．