Question

16．公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項為1，且a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 證明：對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“裂項求和”、“放縮法”即可得出．

解答 解：（ I）設(shè)公差為d，∵a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，
∴$a_5^2={a_2}•{a_{14}}$，
即（1+4d）²=（1+d）•（1+13d），
化簡得d²-2d=0，
∵公差不為0，∴公差d=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
（ II）$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+\frac{1}{5•7}+…+\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}•[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$=$\frac{1}{2}•[{1-\frac{1}{2n+1}}]＜\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．