Question

16．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)$a=-\frac{1}{4}$時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）$a=\frac{1}{2}$時，令$h（x）=f（x）-3lnx+x-\frac{1}{2}$，求h（x）在[1，e]的最大值和最小值；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，+∞）時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≤x-1\end{array}\right.$所表示的區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$a=-\frac{1}{4}$，函數(shù)f（x），求出定義域以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并分解因式，①當(dāng)0＜x＜2時，當(dāng)x＞2時，分別求解導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）求出h（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$h'（x）=x-\frac{2}{x}$，令h′（x）=0求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解最值．
（Ⅲ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），轉(zhuǎn)化為g（x）_max≤0，x∈[1，+∞），然后利用導(dǎo)數(shù)，通過①當(dāng)a≤0時，②當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時，③當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，分別求解a的范圍，即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$a=-\frac{1}{4}$時，f（x）=$\frac{1}{4}$（x-1）²+lnx，（x＞0）…（1分）
f′（x）=$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{x}$=$\frac{-{x}^{2}+x+2}{2x}$=$\frac{-（x-2）（x+1）}{2x}$，…（2分）
①當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞2時，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）$a=\frac{1}{2}$時，令$h（x）=f（x）-3lnx+x-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+lnx$-3lnx+x-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2lnx$，
∴$h'（x）=x-\frac{2}{x}$，令h′（x）=0得$x=\sqrt{2}$．…（5分）
當(dāng)$x∈[{1，\sqrt{2}}]$時h′（x）＜0，當(dāng)$x∈[{\sqrt{2，}e}]$時h'（x）＞0，
故$x=\sqrt{2}$是函數(shù)h（x）在[1，e]上唯一的極小值點(diǎn)，…（6分）
故$h{（x）_{min}}=h（\sqrt{2}）=1-ln2$，又$h（1）=\frac{1}{2}$，$h（e）=\frac{1}{2}{e^2}-2＞\frac{1}{2}$，
所以h（x）_max=$\frac{1}{2}{e^2}-2$=$\frac{{{e^2}-4}}{2}$…（8分）      注：列表也可．
（Ⅲ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，…（9分）
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）
求導(dǎo)得$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，…（10分）
①當(dāng)a≤0時，若x＞1，則g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…（11分）
②當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時，$x=\frac{1}{2a}≤1$，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；…（12分）
③當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，$x=\frac{1}{2a}＞1$，則f（x）在[1，$\frac{1}{2a}$]上單調(diào)遞減，$[\frac{1}{2a}，+∞）$單調(diào)遞增，
則存在$\frac{1}{a}∈[\frac{1}{2a}，+∞）$，有$g（\frac{1}{a}）=a{（\frac{1}{a}-1）^2}+ln\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+1=-lna+a-1＞0$，
所以不成立，…（13分）
綜上得a≤0．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及分類討論思想，考查計算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．