Question

5．隨機詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，得到如下2×2列聯(lián)表：

	讀營養(yǎng)說明	不讀營養(yǎng)說明	合計
男	16	4	20
女	8	12	20
合計	24	16	40

（1）根據(jù)以上列聯(lián)表進行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系”？
（2）從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學(xué)生中，隨機抽取2名學(xué)生，求抽到男生人數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）求出k2，然后判斷性別與是否讀營養(yǎng)說明之間是否有關(guān)系．
（2）判斷ξ的取值為0，1，2．求出概率，然后得到分布列，求解期望即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因為${K^2}=\frac{{40{{（16×12-4×8）}^2}}}{20×20×24×16}=6.67＞6.635$，（3分）
所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系”．（5分）
（2）由題意ξ的取值為0，1，2．（6分）
因為$P（ξ=0）=\frac{{C_{12}^2}}{{C_{16}^2}}=\frac{11}{20}$，$P（ξ=1）=\frac{{C_{12}^1C_4^1}}{{C_{16}^2}}=\frac{2}{5}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^2}{{C_{16}^2}}=\frac{1}{20}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P（ξ）	$\frac{11}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{20}$

（9分）
所以ξ的數(shù)學(xué)期望為$Eξ=0×\frac{11}{20}+1×\frac{2}{5}+2×\frac{1}{20}=\frac{1}{2}$．（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列期望的求法，對立檢驗的應(yīng)用，考查計算能力．