Question

8．已知函數(shù)y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{{-x}^{2}-3x+4}}$．
（1）求函數(shù)的定義域，值域；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根式函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的定義域和值域；
（2）利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由-x²-3x+4≥0，
即x²+3x-4≤0，解得-4≤x≤1，即函數(shù)的定義域為[-4，1]，
設(shè)u=-x²-3x+4，
則u=-x²-3x+4=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
則0≤u≤$\frac{25}{4}$，則0≤$\sqrt{u}$≤$\frac{5}{2}$，
則（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{5}{2}}$≤（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{u}}$≤1，
即$\frac{\sqrt{2}}{8}$≤（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{u}}$≤1，
即函數(shù)的值域為[$\frac{\sqrt{2}}{8}$，1]．
（2）設(shè)t=$\sqrt{u}$，則y=（$\frac{1}{2}$）^t為減函數(shù)，
函數(shù)u=-x²-3x+4的對稱軸為x=-$\frac{3}{2}$，拋物線開口向下，
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤x≤1時，函數(shù)u=-x²-3x+4為減函數(shù)，t=$\sqrt{u}$=$\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}$為減函數(shù)，則此時函數(shù)y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{{-x}^{2}-3x+4}}$的單調(diào)遞減，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{3}{2}$，1]，
當(dāng)-4≤x≤-$\frac{3}{2}$時，函數(shù)u=-x²-3x+4為增函數(shù)，t=$\sqrt{u}$=$\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}$為增函數(shù)，則此時函數(shù)y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{{-x}^{2}-3x+4}}$的單調(diào)遞減，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為[-4，-$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)定義域，值域以及單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．