Question

19．定義$a⊕b=\left\{\begin{array}{l}ab（ab≥0）\\ \frac{a}（ab＜0）\end{array}\right.$，設(shè)函數(shù)f（x）=lnx⊕x，若數(shù)列{a_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且a₁₀₀₈=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=a₂₀₁₆，則a₂₀₁₆=e．

Answer 1

分析 f（x）=lnx⊕x=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$．由${a}_{1}{q}^{1007}$=a₁₀₀₈=1，q＞0，可得a₁＞0．當(dāng)q＞1時(shí)，0＜a₁＜1，可得數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=$\frac{ln{a}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{ln{a}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{ln{a}_{1008}}{{a}_{1008}}$+a₁₀₀₉lna₁₀₀₉+…+a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，由于a_ka_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，（1≤k≤1007，k∈N^*），可得$\frac{ln{a}_{k}}{{a}_{k}}$+a_2016-kln（a_2016-k）=0，于是可得：a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，即可得出．當(dāng)q＜1時(shí)，0＜a₁＜1，數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，同理可得．

解答 解：f（x）=lnx⊕x=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$．
由${a}_{1}{q}^{1007}$=a₁₀₀₈=1，q＞0，
可得a₁＞0，
當(dāng)q＞1時(shí)，0＜a₁＜1，∴數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，因此a₁＜a₂＜…＜a₁₀₀₈=1＜a₁₀₀₉＜…＜a₂₀₁₆，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=$\frac{ln{a}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{ln{a}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{ln{a}_{1008}}{{a}_{1008}}$+a₁₀₀₉lna₁₀₀₉+…+a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，（*）
∵a_ka_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，（1≤k≤1007，k∈N^*），
∴$\frac{ln{a}_{k}}{{a}_{k}}$+a_2016-kln（a_2016-k）=0，
∴（*）化為：a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，
解得a₂₀₁₆=e．
當(dāng)q＜1時(shí)，0＜a₁＜1，∴數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，因此a₁＞a₂＞…＞a₁₀₀₈=1＞a₁₀₀₉＞…＞a₂₀₁₆，同理可得：a₂₀₁₆=e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．