Question

已知拋物線C₁：y=-

1

2p

x2（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線C₂：

x2

3

-y²=1的左焦點(diǎn)的連線交C₁于第三象限的點(diǎn)M．若C₁在點(diǎn)M處的切線平行于C₂的一條漸近線，則P=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫(xiě)出過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出函數(shù)在x取直線與拋物線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．

解答： 解：由y=-

1

2p

x2，得x²=-2py（p＞0），
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，-

p

2

）．
由

x2

3

-y²=1，得a=

3

，b=1，c=2，
∴雙曲線的左焦點(diǎn)為（-2，0）．
則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)的連線所在直線方程為

y-0

- p 2 -0

=

x+2

0+2

，
即

p

2

x+2y+p=0①．
設(shè)該直線交拋物線于M（x0，-

x02

2p

），則C₁在點(diǎn)M處的切線的斜率為-

x0

p

．
由題意可知-

x0

p

=

b

a

=

3

3

，得x₀=-

3

3

p，代入M點(diǎn)得M（-

3

3

p，-

p

6

）
把M點(diǎn)代入①得：-

3

6

p2-

p

3

+p=0．
解得p=

4 3

3

．
故答案為：

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．