Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a、b是常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個(gè)相等實(shí)根．
（1）求f（x）的解析式并寫(xiě)出函數(shù)的值域；
（2）比較f（0）、f（1）、f（3）的大��；
（3）若x₁＜x₂＜1，比較f（x₁）與f（x₂）的大�。�

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0可得a，b之間的關(guān)系，然后由f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得△=0，從而可求a，b，進(jìn)而可求函數(shù)解析式．
（2）代值計(jì)算即可比較大小，
（3）通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大�。�

解答 解：（1）方程f（x）=x，即ax²+bx=x，
亦即ax²+（b-1）x=0，
由方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，得△=（b-1）²-4a×0=0，
∴b=1．
由f（2）=0，得4a+2b=0，
由①、②得，a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
故f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
∵f（x）=-$\frac{1}{2}$（x²-2x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{2}$]，
（2）f（0）=0，f（1）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，f（3）=-$\frac{9}{2}$+3=-$\frac{3}{2}$，
∴f（3）＜f（0）＜f（1）
（3）∵函數(shù)f（x）在（-∞，1）為增函數(shù)，
當(dāng)x₁＜x₂＜1時(shí)，有f（x₁）＜f（x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想的相互轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．