Question

11．在等比數列{a_n}中，a₁+a₆=33，a₃a₄=32，且a_n+1＜a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=|log₂a_n|，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用等比數列的性質求出a₁，a₆，得出公比q，即可得出通項公式；
（2）計算b_n，判斷{b_n}的單調性，對n進行討論，利用等差數列的求和公式計算．

解答 解：（1）設{a_n}的公比為q，則a₃a₄=a₁a₆=32，
又a₁+a₆=33，a_n+1＜a_n，
∴a₁=32，a₆=1，
∴q⁵=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{32}$，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=32•（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^6-n．
（2）b_n=|log₂a_n|=|6-n|，
∴當n≤6時，b_n=6-n，當n＞6時，b_n=n-6，
設{b_n}的前n項和為T_n，
當n≤6時，T_n=5n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-1）$=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{11n}{2}$．
當n＞6時，T_n=T₆+（n-6）+$\frac{（n-6）（n-7）}{2}×1$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{11n}{2}$+30．
綜上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}，n≤6}\\{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{11n}{2}+30，n＞6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數列的性質，等差數列的求和公式，分類討論思想，屬于中檔題．