Question

3．醫(yī)院到某社區(qū)檢查老年人的體質健康情況，從該社區(qū)全體老人中，隨機抽取12名進行體質健康測試，測試成績（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根據(jù)老年人體質健康標準，成績不低于80的為優(yōu)良．
（1）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中任選3人進行體質健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（2）從抽取的12人中隨機選取3人，記ξ表示成績“優(yōu)良”的人數(shù)，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）從該社區(qū)中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為$\frac{2}{3}$，由此能求出在該社區(qū)老人中任選三人，至少有1人成績是‘優(yōu)良’的概率．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答 解：（1）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為$\frac{2}{3}$，
故從該社區(qū)中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為$\frac{2}{3}$，
設“在該社區(qū)老人中任選三人，至少有1人成績是‘優(yōu)良’的事件”為A，
則P（A）=1-${C}_{3}^{0}（1-\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{26}{27}$．
（2）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{55}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{12}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{14}{55}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$

Eξ=$0×\frac{1}{55}+1×\frac{12}{55}+2×\frac{28}{55}+3×\frac{14}{55}$=2．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．