Question

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），過(guò)點(diǎn)B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）作斜率為1的直線l交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)B恰為線段CD的中點(diǎn)，點(diǎn)B恰為線段CD的中點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）線段RS（S為橢圓上半部分不包括左頂點(diǎn)的點(diǎn)）是過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的弦，滿足$\overrightarrow{RF}$=λ$\overrightarrow{FS}$，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）且△PRS的面積最大時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線l：y=x-1，與橢圓聯(lián)立，得（a²+1）x²-2a²x=0，求得方程的解，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出a=2，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得|RS|，由點(diǎn)到直線的距離公式可得P到直線l的距離，求得三角形PRS的面積，運(yùn)用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，可得面積的最大值，以及直線l的方程，求得R，S的坐標(biāo)，可得向量RF，F(xiàn)S的坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求λ的值．

解答 解：（1）由題意可得直線l：y+$\frac{1}{5}$=x-$\frac{4}{5}$，即y=x-1，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，消去y，可得（1+a²）x²-2a²x=0，
解得x=0或$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，
由點(diǎn)B恰為線段CD的中點(diǎn)，可得0+$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$=2×$\frac{4}{5}$，
解得a=2，則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）可得F（$\sqrt{3}$，0），直線RS的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），
代入橢圓方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
設(shè)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
|RS|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{192{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{48{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}+16}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
設(shè)P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）到直線y=k（x-$\sqrt{3}$）的距離為d，
則d=$\frac{|\sqrt{3}k-\frac{1}{2}-\sqrt{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得S_△PRS=$\frac{1}{2}$|RS|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{1}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
令$\sqrt{1+{k}^{2}}$=t（t≥1），則k²=t²-1，
則S_△PRS=$\frac{t}{4{t}^{2}-3}$=$\frac{1}{4t-\frac{3}{t}}$，
由4t-$\frac{3}{t}$在[1，+∞）遞增，可得$\frac{1}{4t-\frac{3}{t}}$在[1，+∞）遞減．
當(dāng)t=1，即k=0時(shí)，S_△PRS取得最大值1，
此時(shí)直線方程為y=0，R，S分別為橢圓長(zhǎng)軸上兩頂點(diǎn)，
即為R（-2，0），S（2，0），$\overrightarrow{RF}$=（2+$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FS}$=（2-$\sqrt{3}$，0），
再由$\overrightarrow{RF}$=λ$\overrightarrow{FS}$，可得λ=$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$=7+4$\sqrt{3}$．
則△PRS的面積最大時(shí)，求實(shí)數(shù)λ=7+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．