Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（1，$\frac{3}{2}$），且一個焦點(diǎn)為F₁（-1，0），直線l與橢圓C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩不同點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若△OPQ的面積為$\sqrt{3}$，證明：x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均為定值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|•|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的方程可知焦點(diǎn)在x軸上，c=1，由a²=b²+c²，求得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，將點(diǎn)M（1，$\frac{3}{2}$），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，寫出橢圓方程；
（2）直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，x₁=x₂，y₁=-y₂，由三角形面積公式即可求得|x₁|和|y₁|的值，可知x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均為定值，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用△＞0及韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁•x₂的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式求得△OPQ的面積，求得a和k的關(guān)系式，即可證明x₁²+x₂²為定值，利用y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，即可求得y₁²+y₂²為定值；
（3）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得4丨OM丨²+丨PQ丨²的值，根據(jù)基本不等式，得丨OM丨•丨PQ丨≤$\frac{7}{2}$，即可求得|OM|•|PQ|的最大值．

解答 解：由題意得：焦點(diǎn)在x軸上，c=1，a²=b²+c²，即a²=b²+1，
橢圓方程變?yōu)椋?\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，將M（1，$\frac{3}{2}$），代入橢圓方程，
整理得：$\frac{1}{^{2}+1}+\frac{9}{4^{2}}=1$，解得b²=3，a²=4
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
所以x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，
△OPQ的面積為$\sqrt{3}$，|x₁||y₁|=$\sqrt{3}$，
∴|x₁|=$\sqrt{2}$，|y₁|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
x₁²+x₂²=4，y₁²+y₂^2₌3均為定值；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，
將其代入橢圓方程整理得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△=（8kb）²-4（3+4k²）•（4b²-12）=48（3+4k²-b²）＞0，即3+4k²＞b²，
由韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
點(diǎn)O到直線l的距離為d=$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•d•丨PQ丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
即2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$，整理得：3+4k²=b²，滿足△＞0，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$）²-2$\frac{4^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=4，
y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴y₁²+y₂^2₌k²（x₁²+x₂²）+2kb（x₁+x₂）+2b²=4k²-8k²+2b²=3，
綜上可知：x₁²+x₂²=4，y₁²+y₂^2₌3均為定值；
（3）4丨OM丨²+丨PQ丨²=（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²+（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
=2[（x₁²+x₂²）+（y₁²+y₂²）]=14，
所以2丨OM丨•丨PQ丨≤$\frac{4丨OM{丨}^{2}+丨PQ{丨}^{2}}{2}$=7，
即丨OM丨•丨PQ丨≤$\frac{7}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)21OM丨=丨PQ丨=$\sqrt{7}$時(shí)等號成立，
因此丨OM丨•丨PQ丨的最小值為$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，屬于難題．