Question

10．已知橢圓C的長(zhǎng)軸左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)為F，且$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$=-1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若P是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在x軸上的射影點(diǎn)為M，連接QM并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)N．求證：∠QPN=90°．

Answer 1

分析 （1）由已知得到A，B，F(xiàn)的坐標(biāo)，結(jié)合$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$=-1，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以及隱含條件得到關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓的方程可求；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），M（x₀，0），由直線方程的兩點(diǎn)式寫(xiě)出QM所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立求出N的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得QP，PN所在直線斜率，由斜率之積等于-1可得答案．

解答 （1）解：由題意可知：A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0），
∵$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$=-1，∴（c+a，0）•（c-a，0）=c²-a²=-1，
又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b²=1，a²=2，c²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），M（x₀，0），
∴QM所在直線方程為$\frac{y}{-{y}_{0}}=\frac{x-{x}_{0}}{-2{x}_{0}}$，即$y=\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}（x-{x}_{0}）}\end{array}\right.$，解得N（$\frac{2{{x}_{0}}^{3}+3{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，$\frac{{{y}_{0}}^{3}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$），
∴${k}_{QP}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${k}_{PN}=\frac{\frac{{{y}_{0}}^{3}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{2{{x}_{0}}^{3}+3{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}-{x}_{0}}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴k_QP•k_PN=-1，則∠QPN=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，訓(xùn)練了直線垂直和斜率間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，是中檔題．