Question

（2012•保定一模）選修4-5：不等式選講
設(shè)f（x）=1n（|x-1|+m|x-2|一3）（m∈R）．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，是否存在m使得f（x）≤0恒成立，若存在求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=1n（|x-1|-3），故有|x-1|-3＞0，由此求得函數(shù)f（x）的定義域．
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）≤0恒成立等價(jià)于 0＜2m-（m-1）x-2≤1恒成立，即 m＞

2+x

2-x

，且m≤

x+3

2-x

．求出

2+x

2-x

的最大值以及

x+3

2-x

的最小值，可得m＞3且m≤

3

2

，故這樣的實(shí)數(shù)m不存在．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=1n（|x-1|-3），故有|x-1|-3＞0，
∴x-1＞3 或x-1＜-3，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜-2，或x＞4}．
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=1n（|x-1|+m|x-2|-3）=ln[2m-（m-1）x-2]，
f（x）≤0恒成立等價(jià)于 0＜2m-（m-1）x-2≤1恒成立．
故有 m＞

2+x

2-x

，且m≤

x+3

2-x

．
由 m＞

2+x

2-x

=-1+

4

2-x

，而由0≤x≤1可得-1+

4

2-x

的最大值為3，可得m＞3．
由m≤

x+3

2-x

=-1+

5

2-x

，而由0≤x≤1可得-1+

5

2-x

 的最小值為

3

2

，可得m≤

3

2

．
即實(shí)數(shù)m同時(shí)滿足m＞3且m≤

3

2

，故這樣的實(shí)數(shù)m不存在．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，帶有絕對值的函數(shù)，求出

2+x

2-x

的最大值以及

x+3

2-x

的最小值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．