Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=kⁿ-1（k∈R），且{a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，則k的值是0．

Answer 1

分析 對k分類討論，利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n=kⁿ-1（k∈R），
∴a₁=S₁=k-1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（kⁿ-1）-（k^n-1-1）=（k-1）k^n-1．
當(dāng)k=0時，a₁=-1，a_n=0（n≥2），此時數(shù)列{a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列；
當(dāng)k=1時，a_n=0，此時數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，舍去；
k≠0，1時，a_n-a_n-1=（k-1）k^n-1-（k-1）k^n-2=（k-1）²•k^n-2，與n有關(guān)，不是常數(shù)，不可能為等差數(shù)列．
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（k-1）×{k}^{n}}{（k-1）×{k}^{n-1}}$=k，此時數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
綜上可得：k=0，
故答案為：0．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．