Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，且na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1）
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知b_n=（n+1）²，求證：$\frac{1}{{a}_{1}+_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+_{n}}$$＜\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），變形為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=（n+1）²，可得a_n+b_n=（n+1）（2n+1），n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}+_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）解：∵na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2+（n-1），∴a_n=n（n+1）．
（2）證明：b_n=（n+1）²，
∴a_n+b_n=（n+1）（2n+1），
∴n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}+_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+_{n}}$＜$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{6}+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{5}{12}$．
n=1時(shí)，也成立．
∴$\frac{1}{{a}_{1}+_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}+_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+_{n}}$＜$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．