Question

20．是否存在復(fù)數(shù)z．使其滿足$\overline{z}$•z+$2i\overline{z}$=3+ai？如果存在．求實數(shù)a的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 假設(shè)存在復(fù)數(shù)Z=x+yi（x，y∈R），則由題意可得x²+y²+2xi-2y=3+ai，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=3}\\{2x=a}\end{array}\right.$，消元，再根據(jù)判別式即可求出a的范圍．

解答 解：設(shè)z=x+yi，則$\overline{z}$=x-yi，（x，y∈R），
∵$\overline{z}$•z+$2i\overline{z}$=3+ai，
∴x²+y²+2xi-2y=3+ai，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=3}\\{2x=a}\end{array}\right.$，
∴y²-2y+$\frac{1}{4}$a²-3=0，
∴△=4-4（$\frac{1}{4}$a²-3）≥0，
解得-4≤a≤4，
故存在．且實數(shù)a的取值范圍為[-4，4]．

點評 本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)表示法及其幾何意義，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．