Question

13．若焦距為2的雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$上存在到y(tǒng)軸、x軸的距離之比為2的點(diǎn)P，則雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍為$0＜2a＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意把b用a表示，代入雙曲線方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，求出y²，再由y²≥a²列式求解．

解答 解：由題意知，2c=2，c=1，∴b²=c²-a²=1-a²，
則雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=1$，
由題意不妨設(shè)P（2y，y），則$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{y}^{2}}{1-{a}^{2}}=1$，
解得：${y}^{2}=\frac{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}{1-5{a}^{2}}$，則$\frac{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}{1-5{a}^{2}}≥{a}^{2}$，
∴$\frac{1-{a}^{2}}{1-5{a}^{2}}≥1$，即$\frac{4{a}^{2}}{1-5{a}^{2}}≥0$，解得0$＜a＜\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$0＜2a＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．