Question

2．平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=$\sqrt{2}$，P為平行四邊形內(nèi)一點，且AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），則λ+$\sqrt{2}$μ的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$
丨$\overrightarrow{AP}$丨²=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$）²，
=λ²丨$\overrightarrow{AB}$丨²+μ²丨$\overrightarrow{AD}$丨²+2λμ•$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$，
=λ²丨$\overrightarrow{AB}$丨²+μ²丨$\overrightarrow{AD}$丨²+2λμ•丨$\overrightarrow{AB}$丨•丨$\overrightarrow{AD}$丨cos∠BAD，
由∠BAD=60°，AB=1，AD=$\sqrt{2}$，AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$=λ²+2μ²+$\sqrt{2}$λμ×，
∴（λ+$\sqrt{2}$μ）²=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$λμ≤$\frac{1}{2}$+（$\frac{λ+\sqrt{2}μ}{2}$）²，
λ+$\sqrt{2}$μ≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．