Question

5．已知x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{2x+y+5≥0}\\{x-y+1≥0}\end{array}}\right.$，則$z=\frac{x+1}{x+2y-3}$的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-1，]∪[3，+∞）
• B． $[{-1，\frac{1}{7}}]$
• C． $[{-1，0}）∪（{0，\frac{1}{7}}]$
• D． （-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合z′=$\frac{y-2}{x+1}$的幾何意義求出z的范圍即可．

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
∵$z=\frac{x+1}{x+2y-3}$，∴$\frac{1}{z}$=$\frac{x+2y-3}{x+1}$=1+$\frac{2（y-2）}{x+1}$，
令z′=$\frac{y-2}{x+1}$，z′的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和（-1，2）點(diǎn)的直線的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+5=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，-1），
故K_AD=$\frac{2+1}{-1+2}$=3，K_CD=-1，
∴-1≤$\frac{1}{z}$≤7，
故-1≤z＜0或0＜z≤$\frac{1}{7}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．