Question

2．已知f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）-xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{0.5^{-0.5}}），b=（{log_3}π）f（{log_π}3）$，$c=（{log_9}\frac{1}{3}）f（{log_{\frac{1}{3}}}9）$，則下列關(guān)系式正確的是（　�。�

• A． c＞a＞b
• B． b＞a＞c
• C． a＞c＞b
• D． a＞b＞c

Answer 1

分析 由已知中f（x）-xf′（x）＞0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（$\frac{u}{v}$）′=$\frac{1}{{v}^{2}}$（u′v-uv′），構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用h′（x）的符號(hào)，判斷h（x）的單調(diào)性問(wèn)題很容易解決．

解答 解：令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴h（x）是R上的奇函數(shù)，
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）-xf′（x）＞0，∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)h（x）在x∈（-∞，0）時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴h（x）在x∈（0，+∞）時(shí)的單調(diào)性為單調(diào)遞減函數(shù)．a(chǎn)=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{0.5^{-0.5}}），b=（{log_3}π）f（{log_π}3）$，$c=（{log_9}\frac{1}{3}）f（{log_{\frac{1}{3}}}9）$=$\frac{f（-2）}{-2}$，a=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}}$=$\frac{f（-\sqrt{2}）}{-\sqrt{2}}$；b=$\frac{f（-lo{g}_{π}3）}{-lo{g}_{π}3}$；-2＜$-\sqrt{2}$＜-log_π3
可得：c＞a＞b．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的考點(diǎn)與方法有：1）所有的基本函數(shù)的奇偶性；2）抽象問(wèn)題具體化的思想方法，構(gòu)造函數(shù)的思想；3）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；5）奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；5）奇偶函數(shù)的性質(zhì)：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本題結(jié)合已知構(gòu)造出h（x）是正確解答的關(guān)鍵所在．